Rectes secants:

Dues rectes secants són aquelles que es tallen en un punt, per tant la direcció, el vector director o pendent no són iguals.
Si tenim dues rectes en equació general, podem determinar que són secants si no compleixen :

aa_no_es_bb.gif
Com ja sabem, la A i la B són els dos únics termes que condicionen quin és el vector director o direcció, per tannt, el valor de C és indiferent, amb l'expressió anterior ja podem comprovar que les dues rectes són secants, al no tenir la mateixa direcció, en algun moment es creuaran. Per tant, dues rectes són secants, quan no són ni paral·leles ni coincidents.
Per exemple, tenint les dues rectes següents:
r_secant.gif
s_secan.gif
Utilitzant l'expressió anterior, comprovem que aquestes dues rectes són secants:

3_no_es_4.gif

Si posseïm les rectes en equació explícita, comprovem que dues rectes són secants, simplement mirant el pendent i veient que no és el mateix.
m1_no_m2.gif

Posem l'exemple de les rectes anteriors en forma d'equació explícita:


r_explicita_secant.gif
s_explicita_secan.gif

Com podem comprovar ja només mirant les equacions, els pendents no són equivalents, per tant, no són rectes ni paral·leles ni coincidents, són rectes secants.
m1_no_es_m2_3_no_es_4.gif

Rectes perpendiculars:

Dues rectes són perpendiculars si els seus vectors directors són ortogonals, si són ortogonals el seu producte escalar ha de ser igual a zero.

Si tenim les dues rectes perpendiculars en forma d'equació general, podem determinar que els seus vectors (r i s) són:

v.gif
w.gif
Ja que, d'aquesta manera són vector perpendiculars, al formar un angle de 90ª, els producte escalar és igual a zero:
producte_escalar.gif

Si tenim les rectes en equació explícita, sabem que:
vector_pendent.gif
wpendent.gif
Com a conseqüent, per saber si dues rectes són perpendiculars hauran de complir que:


m1m2-1.gif

Per exemple, un exercici ens pot dir:
Busca una recta perpendicular a la recta r i que passi pel punt Q(-1,0)

estreees_2.gif
Per buscar una recta que sigui paral·lela utilitzem el mètode que hem explicat anteriorment, obtenint el pendent que haurà de tenir la nova recta, anomenada recta s.

bbbeeep.gif
Ara per fer que aquesta recta passi pel punt Q(-1,0), substituïm la x i la y de la nova equació de s per obtenir el valor de la n:


sssss.gif


Per tant, l'equació de la nova recta s perpendicular a r i que passa pel punt Q(-1,0) és la següent:

ssdef.gif

Angle que formen dues rectes secants:

Dues rectes secants es tallen en un punt, per tant en aquest punt, formen quatre angles, dos parelles d'angles iguals, sempre considerarem l'angle més petit, el que pertany al primer quadrant.
La fòrmula que s'utilitza per calcular aquest angle és la següent:

cos.gif
Aquesta fòrmula s'obtè a partir de la definició de producte escalar de dos vectors, com ja sabem hi ha dues fòrmules per calcular aquest producte escalar, i ens basem d'aquest fet, per, ajuntant les dues fòrmules, poder obtenir l'angle que formen entre elles.
coscosocso.gif
coscos.gif

Si les rectes són secants perpendiculars, l'angle que formaran serà 90ª, i com que el cos90ª=0, el producte escalar serà igual a 0.
Si les rectes són paral·leles, el cos0ª, 0ª és l'angle que formen aquestes dues rectes, serà 1.

Posem l'exemple de dues rectes que són secants,
penultim.gif
ultim!.gif
Els vectors de les equacions anteriors són:
vector_r.gif
vector_s.gif
Aleshores apliquem la fòrmula anterior:


merda.gif
El resultat que obtenim és el cos del angle que formen, ara, el resultat, el podem expressar de dues maneres, en funció de si posseïm o no calculadora:
Si no tenim calculadora ho deixarem expressar de la següent manera, menys en el cas, que el cos que ha resultat sigui d'un angle del qual coneixem el resultat de les seves raons trigonomètriques.
arccos.gif


Si tenim calculadora, podem cacular l'angle concret, en aquest cas seria:


87.gif